Ders Tanımları
MATH 495
MATH 505
Variyasyonel kalkülüs; Kısmi differansiyel denklemler: Birinci metebeden lineer denklemler ve karakteristik metodu; Laplace denklemi, dalga denklemi ve difuzyon denklemlerinin çözümleri; Özel fonksiyonlar; Integral denklemler.
MATH 510
Varlık ve teklik teoremleri; çözümün genişlenmesi;sürekli bağımlılık ve karalılık, Lyapunov direkt metodu; diferansiyel eşitsizlikler ve uygulamalraı; sınır dğer problemleri ve Sturm - Liouville teorisi.
MATH 514
Değişmeli cebirin ve homolojik cebirin temel kavramları: bir halka üzerindeki modüller kategorisi, düzlük, Ext ve Tor. Şemalar teorisinin temel kavramları: ilgin ve projektif uzaylar, boyut, projektif ve has morfizmler. Normal ve duzenli şemalar. Düz ve pürüzsüz morfizmler. Zariski?nin temel teoremi ve uygulamaları. Tutarlı demetler ve Cech kohomolojisi.
MATH 525
Bir cismin degerleri, yerel cisimler, birlesme indeksi ve derecesi, global cisimlerin yerleri, bolunme teorisi, idealler teorisi, adeller ve ideller, Minkowski teoremi, global cisimlerin uzatmalari. Artin sembolu.
MATH 504
Doğrusal Cebir Tekrarı: Doğrusal uzaylar, Dikgen matrisler, Matris ve vektör normları, SVD, Projektörler, QR Ayrıştırması algoritmaları, Enküçük kareler. Durum Sayıları, Kayan notalı sayı gösterimi, Kararlılık, Enküçük Karelerin Durumu ve Kararlılığı, Doğrusal Denklem Sistemlerinin Durumu ve Kararlılığı.
MATH 509
Rn de dizilerin yakınsaması, çok değişkenli fonksiyonlar için Taylor teoremi. Kısıtsız optimizasyon için noktaların optimal olma koşulları. Kısıtsız optimizasyon problemlerinin çözümü için Newton ve yaklaşık Newton metodları, eşitliklerle kısıtlı optimizasyon, kısıtlı optimizasyon için Karush-Kuhn-Tucker teoremi, eşitsizliklerle kısıtlı optimizasyon, kısıtlı optimizasyon için iç nokta metodları, lineer ve kuadratik programlar, bu problemlerin nümerik çözümü.
MATH 512
Fonksiyonlar uzayları ve gömme teoremleri ; ikinci mertebeden elliptik denklemler için sınır değer problemlerin çözümlerinin varlığı ve düzgünlüğü; elliptik ve paprabolik denklemler için maximum prensibi; karşılaştırma teoremleri; ikinci mertebeden parabolik ve hiperbolik denklemler için başlangıç sınırdeğer problemlerini çözümlerinin varlığı, tekliği ve düzgünlüğü.
MATH 522
Galois teorisi, denklemleri radikallerle cozulebilirligi, ayrilabilen uzatmalar, normal baz teoremi, norm ve iz, dongusel uzatmalar, Kummer uzatmalari. Moduller, ayrik toplamlar, serbest moduller, modullerin toplam ve carpimlari, tam diziler, morphizmler, Hom ve tensor carpimlari. Basitlik, yaribasitlik, Wedderburn-Artin teoremi, sonlu yaratilabilen moduller, sonlu degismeli gruplar icin baz teoremi.
MATH 528
Asal sayıların aritmetik diziler üzerinde dağılımı, Gauss toplamları, ilkel karakterler, Riemann Zeta ve Dirichlet L-fonksiyonları, asal sayı teoremi, Polya-Vinogradov eşitsizliği, büyük elek, asal sayıların dağılımında ortalama sonuçlar.
MATH 503
Doğrusal cebir: genelleştirilmiş vektör uzayı, özdeğer problemi, köşegenleştirme, karesel formlar. Alan kuramı: ıraksama kuramı, Stokes kuramı, döndürülemeyen alanlar. Sturm-Liouville kuramı, Bessel fonksiyonları, Legendre polinomları. Kısmi türevsel denklemler: değişkenlerin ayırımı ile yayınım ve Laplace denklemleri ve Sturm-Liouville kuramı, dalga denklemi. Ağırlıklandırılan kalıntı yöntemi. Entegral dönüşümü ve kısmi türevsel denklemlerin Green fonksiyonu çözümü, kompleks değişkenler, değişken hesabı ve pertürbasyon yöntemlerine giriş. Mühendislik uygulamaları.
MATH 506
Bu ders kapsamında, doğrusal ve cebirsel denklem sistemlerinin numerik yöntemlerle çözülmesi: Gaus yöntemi, Krylov altuzayına dayalı özyineli yöntemler; doğrusal olmayan cebirsel denklem sistemlerinin Newton yöntemleri ile çözümü ve evrensel yakınsama yöntemleri; diferansiyel denklemlerin numerik yöntemlerle çözümü: doğrusal cok-basamaklı yöntemler, tutarlılık, kararlılık, yakınsama, çok zaman ölçekli problemler; ilk değer ve sınır değer problemleri; kısmı diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü için sonlu farklara dayalı yöntemler, Galerkin yöntemi; numerik integral alma yöntemleri: Monte Carlo yöntemi, Gauss tümlevi; olasılıksal diferansiyel denklemlerin numerik yöntemlerle çözümü yer almaktadır. Bu konular, MATLAB ortamında uygulamalı olarak işlenmektedir.
MATH 511
Birince mertebeden denklemler, karakteristik metodu, Cauchy- Kovalevskaya teoremi; Laplace denklemi; potansyel teorisi ve Green fonksiyonu, harmonik fonksiyonların özellikleri, yuvar için Dirichlet problemi; ısı denklemi: Cauchy problemi, başlangıç sınır değer problemi,maksimum prensibi; dalga denklemi: Cauchy problemi, bağımlılık bölgesi, başlangıç sınır değer problemi
MATH 521
Serbest gruplar, grup etkileri, Sylow teoremleri, Jordan-Holder teoremi, sifirkuvvetli ve cozulebilir gruplar. Polinom ve kuvvet seri halkalari. Gauss yardimci teoremi. Yerellestirme, yerel halkalar, artan zincir ve azalan zincir kosullari, Jacobson radikali.
MATH 527
İniş metodu, asal çarpanlara tek türlü ayrılabilme, cebirsel sayılar teorisine giriş, diofant denklemler, elliptik eğriler, p-adik sayılar, modüler formlar, zeta ve L-fonksiyonları. ABC sanısı. Sınıf sayısı.
